Maclaurin 展開に関する直感 | Trellis Blog

Maclaurin 級数を学んだが、直感で分かりにくいと思ったためメモ。ちゃんと理解している訳ではないので間違っているかも (おい)

1 直感

Maclaurin 級数とは何かと簡単にいうと、任意の関数を多項式で近似するような級数ということ。 そのときに、近似の関数が切片、\(x = 0\) で微分したもの、二階微分したもの、三階微分したもの…n階微分したもの… が一致すれば、どんどんもとの関数に近づいていくよね、ということ。Taylor 級数は任意の \(x\) の値で 一致させていけるけど、Maclaurin 級数はその特殊な場合で、\(x = 0\) の場合に言及している。

2

\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}f^{(k)}(0) \end{eqnarray*}

何のこっちゃ。僕は理解力が皆無なので分からなくて泣いていた (泣いてはいない。) これはシグマの部分を分けて書くと分かりやすいということで、分けると下のような感じになる。

\begin{eqnarray*} f(x) = f(0) + \frac{x}{1}f'(0) + \frac{x^{2}}{2\cdot 1}f''(0) + \frac{x^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}f'''(0) + \cdots \end{eqnarray*}

おそらく \(f\) を微分しているところは分かると思うので、分数の部分を説明すると、 これは \(x\) を何度も微分するときに出てくるゴミ (傾きじゃない部分) を打ち消すような数になっている。 例えば、 \(x^{3}\) の例でいうと、この項は、微分するごとに、\(x^{3}\) 、 \(3x^{2}\) 、 \(6x\) 、 \(6\) 、 \(0\) となり、前に出てくるゴミは 3, 2, 1 ということになる。 また、 \(x = 0\) にすれば、もとの関数を繰り返し微分したものと一致することが直感的に分かる。

Last Update: 2019/07/21

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